[2981] (C++) 검문

문제

트럭을 타고 이동하던 상근이는 경찰의 검문을 받게 되었다. 경찰은 상근이가 운반하던 화물을 하나하나 모두 확인할 것이기 때문에, 검문하는데 엄청나게 오랜 시간이 걸린다.

상근이는 시간을 때우기 위해서 수학 게임을 하기로 했다.

먼저 근처에 보이는 숫자 N개를 종이에 적는다. 그 다음, 종이에 적은 수를 M으로 나누었을 때, 나머지가 모두 같게 되는 M을 모두 찾으려고 한다. M은 1보다 커야 한다.

N개의 수가 주어졌을 때, 가능한 M을 모두 찾는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 종이에 적은 수의 개수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 100)

다음 줄부터 N개 줄에는 종이에 적은 수가 하나씩 주어진다. 이 수는 모두 1보다 크거나 같고, 1,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다. 같은 수가 두 번 이상 주어지지 않는다.

항상 M이 하나 이상 존재하는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 가능한 M을 공백으로 구분하여 모두 출력한다. 이때, M은 증가하는 순서이어야 한다.

코드

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;

int N;
vector<int> num;
int M;

int GCD(int a, int b){
	if(b == 0){
		return a;
	}
	return GCD(b, a%b);
}


int main(void) {
	cin >> N;
	int check = 0;
	for(int i=0; i<N; ++i){
		int a;
		cin >> a;
		num.push_back(a);
	}

	sort(num.begin(),num.end());
	
	int gcd = num[1]-num[0];
	
	for(int i=2; i<N; ++i){
		gcd = GCD(gcd,num[i]-num[i-1]);
	}

	int k = 2;
	while(1){
		if(k>gcd/2){
			break;
		}
		
		if(gcd % k ==0){
			cout << k << ' ';
		}
		k++;
	}

	cout << gcd <<' ';
	
  return 0;
}

어려운 문제였다. 처음에 무식하게 풀어봤는데 시간초과가 떠서 별 이상한 짓을 다해보고 결국 구글링을 해버렸다...

수학적인 접근이 필요한 문제이다. 이 문제에서 몇가지 식을 표현하자면 다음과 같다.

arr[1]%M = arr[1]-(arr[1]/M)*M

arr[2]%M = arr[2]-(arr[2]/M)*M

arr[3]%M = arr[3]-(arr[3]/M)*M

.....

이렇게 나오는데 맨 위 두줄을 빼주면 아래와 같이 나온다.

arr[2]-arr[1] = (arr[2]/M-arr[1]/M)*M

즉, 일반화를 하면 arr[N] - arr[N-1] = (arr[N]/M-arr[N-1]/M)*M

일반화된 식을 살펴보면 arr[N] - arr[N-1] = x * M (x는 상수) 즉, arr[N]-arr[N-1]들의 최대공약수를 구하면 M을 찾을 수 있다.

또한 최대공약수인 M의 약수들이 가능한 M들이 된다.

 

이런 접근방법을 어떻게 떠올릴 수 있었을까...... 역시 한참 멀었다